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【3分統計学②】図解!ベイズ更新。ワールドカップ(W杯)でメッシがPKを決めて優勝する確率は❓

確率は『面積』と考えると、とても分かり易くなります。


今回は、事前にある事象が起きる確率が分かっている時、情報を与えることで、その確率がどう変化するのかを図解します。


例として、ワールドカップ(W杯)を挙げます。


W杯のベスト4に以下の4ヶ国が進出したとします。

  • アルゼンチン

  • ポルトガル

  • フランス

  • 日本

普通に考えると、これらの国のどちらかが優勝する確率は25%です。

1/4の確率で優勝するので、当然です。


この、事前に起きる確率が分かっている確率のことを【事前確率】といいます。





そして、この事前確率に以下のような【情報】を与えると、優勝確率はどう変化するでしょうか?


情報:エースがPKを決める確率

  • メッシ:51%

  • ロナウド:37%

  • エムバペ:64%

  • 堂安:7%


この『エースがPKを決める確率:○○%』という情報を与えることで、優勝確率は25%から変化します。

この確率が更新される過程を、【ベイズ更新】といいます。





これを図解して考えてみます。

【ベイズ更新】後の優勝確率は下記の青い面積となります。


例:メッシがPKを決めてアルゼンチンが優勝する確率は32.08%となります。

  事前確率25% ⇒ 事後確率32.08% 【確率が更新された】






これを数字で記載したものが下図です👇


0.25(事前確率:アルゼンチンが優勝する確率) × 0.51(情報:メッシがPKを決める確率) ÷ 0.3975(周辺尤度) ≒ 0.3208(事後確率:メッシがPKを決めて優勝する確率)




では、ベイズ更新で確率が更新される過程を見ていきます。

重要なのは、情報です。

情報は尤度(ゆうど)と呼ばれ、物事が起こる最もらしさのことを言います。

メッシの場合、尤度は51%です。

この尤度に事前確率をかけたものの総和を周辺尤度と言います。

(周辺尤度:優勝する・しないに関わらず、PKを決める確率の起こりやすさ)





p(B1)アルゼンチンが優勝する確率:25% × p(A1)メッシがPKを決める確率:51% = P(B1)P(A|B1)12.75%

このP(B1)P(A|B1)の総和が周辺尤度です。


式にすると、下図の青い枠線の部分が周辺尤度。



そして、更新したい確率を周辺尤度で除した数値が事後確率となります。




これだけです。

まとめると、以下の式でベイズ更新が出来ます。


事前確率 × 尤度 ÷ 周辺尤度 = 事後確率


25% × 51% ÷ 39.75% ≒ 32.08%





事前確率(25%)に情報(メッシがPKを決める確率25%)を与えて、確率を更新することが出来ました(メッシがPKを決めてアルゼンチンが優勝する確率32.08%)。


確率を面積で考えると、ベイズ更新が分かり易くなるかと思います。


確率を味方につけると、生活の楽しみが増えると思います。


是非、身の回りの検証したい事項に当てはめてみて、確率統計を楽しんで頂ければ幸甚です。




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