【3分統計学②】図解！ベイズ更新。ワールドカップ（W杯）でメッシがPKを決めて優勝する確率は❓

確率は『面積』と考えると、とても分かり易くなります。

今回は、事前にある事象が起きる確率が分かっている時、情報を与えることで、その確率がどう変化するのかを図解します。

例として、ワールドカップ（W杯）を挙げます。

W杯のベスト４に以下の４ヶ国が進出したとします。

• アルゼンチン

• ポルトガル

• フランス

• 日本

普通に考えると、これらの国のどちらかが優勝する確率は25％です。

1/4の確率で優勝するので、当然です。

この、事前に起きる確率が分かっている確率のことを【事前確率】といいます。

そして、この事前確率に以下のような【情報】を与えると、優勝確率はどう変化するでしょうか？

情報：エースがPKを決める確率

• メッシ：51％

• ロナウド：37％

• エムバペ：64％

• 堂安：7％

この『エースがPKを決める確率：○○％』という情報を与えることで、優勝確率は25％から変化します。

この確率が更新される過程を、【ベイズ更新】といいます。

これを図解して考えてみます。

【ベイズ更新】後の優勝確率は下記の青い面積となります。

例：メッシがPKを決めてアルゼンチンが優勝する確率は32.08％となります。

　　事前確率25％　⇒　事後確率32.08％　【確率が更新された】

これを数字で記載したものが下図です👇

0.25（事前確率：アルゼンチンが優勝する確率）　×　0.51（情報：メッシがPKを決める確率）　÷　0.3975（周辺尤度）　≒　0.3208（事後確率：メッシがPKを決めて優勝する確率）

では、ベイズ更新で確率が更新される過程を見ていきます。

重要なのは、情報です。

情報は尤度（ゆうど）と呼ばれ、物事が起こる最もらしさのことを言います。

メッシの場合、尤度は51％です。

この尤度に事前確率をかけたものの総和を周辺尤度と言います。

（周辺尤度：優勝する・しないに関わらず、PKを決める確率の起こりやすさ）

p(B1)アルゼンチンが優勝する確率：25％　×　p(A1)メッシがPKを決める確率：51％　＝　P(B1)P(A|B1)12.75％

このP(B1)P(A|B1)の総和が周辺尤度です。

式にすると、下図の青い枠線の部分が周辺尤度。

そして、更新したい確率を周辺尤度で除した数値が事後確率となります。

これだけです。

まとめると、以下の式でベイズ更新が出来ます。

事前確率　×　尤度　÷　周辺尤度　＝　事後確率

25％　×　51％　÷　39.75％　≒　32.08％

事前確率（25％）に情報（メッシがPKを決める確率25％）を与えて、確率を更新することが出来ました（メッシがPKを決めてアルゼンチンが優勝する確率32.08％）。

確率を面積で考えると、ベイズ更新が分かり易くなるかと思います。

確率を味方につけると、生活の楽しみが増えると思います。

是非、身の回りの検証したい事項に当てはめてみて、確率統計を楽しんで頂ければ幸甚です。

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