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数式で見る、回帰直線の意味と性質

更新日:2022年8月23日

回帰分析は統計学の王道です。

洞察の際には必ずと言っていいほど利用する手法の一つです。

今回は回帰分析を行う上で、重要な意味を持つ回帰直線についてまとめていきます。


目次

回帰直線とは?

回帰直線の公式と導出

回帰直線の性質



回帰直線とは?

回帰直線とは、y = ax + bというシンプルな直線を求めて、変数間の線形関係の程度を調べる手法です。

最小二乗法を使って、誤差【イプシロン:ε(a,b)】を最小化し、回帰直線を求めます。







回帰直線の公式と導出

回帰直線を数式で見ていきます。

以下が回帰直線の公式です👇

 

ここから、回帰直線の公式の導出を行います。

まず、aを偏微分します。

 

同様に、bを偏微分します。

ひとまずbを求めることができました。

 

aも同様に求めることが出来ました。

 

上記が回帰直線の公式です。

導出できました。

 

ついでに相関係数の形も見ておきます。




回帰直線の性質

①予測値の平均は実測値の平均と等しい


②残差の平均は0となる


③予測値と残差の相関係数は0となる


④応答変数(yの全変動)=回帰変動+残差変動となる。【平方和の分解】




⑤【平方和の分解】のうち、全変動に占める回帰変動の割合が決定係数




以上が、回帰直線の性質についてのまとめです。


回帰分析は単純と軽視されがちですが、数式でその性質を見てみると、なぜ統計学の洞察手法として王道であるのかが分かるはずです。


一本の回帰直線に込められた意味を理解して利用すると、その深さに感嘆することができます。


皆さまのマーケティングに役立ちますように。





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